这是一篇流形上预积分的笔记。预积分用多次的IMU测量来构造这段时间运动的相对变化量，在优化的框架中，这个构造的量可以代替一帧一帧的IMU测量加入到pose的求解。IMU中的加速度计对时间进行两次积分可以得到位移，而陀螺仪一次积分可以得到角度。在已知\(T\)时刻的PVR和到\(T+1\)时刻之间的IMU测量，可以通过积分得到\(T+1\)时刻的PVR。预积分的方法就是用来表示这两个时刻的相对PVR，且使得这个相对量与\(T\)时刻的PVR无关。其中旋转有多种表示方式，包括欧拉角、旋转向量、四元数和\(SO(3)\)。这篇笔记主要是针对16年的On-Manifold Preintegration for Real-Time Visual-Inertial Odometry论文的推导，在旋转表示上采用了\(SO(3)\)。